题目内容
在ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．
考点：余弦定理的应用,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）原式可化简为a2+b2-c2=ab，由余弦定理知cosC=
=
，即可求得C=
；
（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）化简可得sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0或者cosA≠0讨论，由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可得解．
解答：
解（1）已知等式sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，利用正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，即a2+b2-c2=ab，
∴cosC=
=
，
又0＜C＜π，
∴C=
；
（2）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=
，此时b=
，S△ABC=
=
；
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得a2=
，即有a=
．
此时S△ABC=
×a×b×sinC=
．
∴cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
又0＜C＜π，
∴C=
| π |
| 3 |
（2）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A，
∴sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=
| π |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| bc |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，
由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，代入b=2a，c=2整理可得a2=
| 4 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
此时S△ABC=
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的综合应用，属于中档题．
练习册系列答案
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