Question

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，S_k=2550．
（1）求a及k的值；   
（2）求证

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由等差数列的性质结合给出的前三项列式求得a的值，则公差可求，代入等差数列的前k项和得答案；
（2）直接利用裂项相消法求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的和，然后放缩证得数列不等式．

解答： （1）解：设该等差数列为{a_n}，
则a₁=a，a₂=4，a₃=3a，
由已知有a+3a=2×4，解得a₁=a=2，公差d=a₂-a₁=2，
将S_k=2550代入公式Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，得k=50，k=-51（舍去）
∴a=2，k=50；
（2）证明：由 Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
得 S_n=n（n+1），

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查了数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．