Question

如图，A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点，|AB|=

5

，直线AB的斜率为-

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l平行与AB，并与椭圆相交于C、D两点，求△OCD的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出|AB|=

a2+b2

=

5

，k=

b-0

0-a

=-

b

a

=-

1

2

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=-

1

2

x+m，将其代入

x2

4

+y2=1，消去y并整理，得2x²-4mx+4m²-4=0，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则

△=16m2-32(m2-1)＞0 x1+x2=2m x1x2=2m2-2

，由此利用点到直线的距离公式和配方法能求出△OCD的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个顶点，
|AB|=

5

，直线AB的斜率为-

1

2

，
∴A（a，0），B（0，b），|AB|=

a2+b2

=

5

，
k=

b-0

0-a

=-

b

a

=-

1

2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵l∥AB，∴设直线l的方程为y=-

1

2

x+m，
将其代入

x2

4

+y2=1，消去y并整理，得2x²-4mx+4m²-4=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则

△=16m2-32(m2-1)＞0 x1+x2=2m x1x2=2m2-2

，
|CD|=

(x1-x2)2+ 1 22 (x-x2)2

=

1+ 1 4

•|x1-x2|，
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

2

2-m2

，
∴|CD|=

5

•

2-m2

，
点O到直线CD的距离d=

|2m|

5

，
∴△OCD的面积S=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

5

•

2-m2

•

|2m|

5

=|m|

2-m2

=

2m2-m 4

，
令m²=n，则0＜n＜2，2m²-n⁴=-n²+2n=-（n-1）²+1≤1，
∴△OCD的面积的最大值为1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和配方法的合理运用．