Question

11．下列命题中：
（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．
（2）若点（1，1）在圆x²+y²+mx-y+4=0外，则m的取值范围是（-5，+∞）；
（3）若曲线$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（-∞，-4]；
（4）将函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=cos2x的图象．
（5）已知双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（2），（5）（填序号）

Answer 1

分析 由正弦定理求得sinB，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k的不等式，求得k值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l的方程说明（5）正确．

解答 解：对于（1），由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{b}{a}sinA=\frac{b}{4}×\frac{1}{2}=\frac{b}{8}$．
当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；
对于（2），点（1，1）在圆x²+y²+mx-y+4=0外，则1²+1²+m-1+4＞0，即m＞-5，故（2）正确；
对于（3），若曲线$\frac{{x}^{2}}{4+k}$+$\frac{{y}^{2}}{1-k}$=1表示双曲线，则（4+k）（1-k）＜0，解得k＞1或k＜-4，
即k的取值范围是（1，+∞）∪（-∞，-4），故（3）错误；
对于（4），将函数y=cos（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，
得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+$\frac{π}{3}$）$-\frac{π}{3}$]=cos（2x+$\frac{π}{3}$），故（4）错误；
对于（5），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${{x}_{1}}^{2}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，${{x}_{2}}^{2}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，两式作差得：
$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）=\frac{1}{2}（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）$，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，∴k_AB=2，此时直线方程为y-1=2（x-2），
即y=2x-3，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-3}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²-12x+11=0，△=144-88=56＞0，故（5）正确．
∴正确命题的序号是（2），（5）．
故答案为：（2），（5）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形形状的判定，考查双曲线的简单性质及直线与双曲线的位置关系，属中档题．