Question

6．在几何体ABCDE中，∠BAC=90°，DC⊥平面ABC，EB⊥平 面ABC，F是BC的中点，AB=AC
（1）求证：DC∥平面ABE；
（2）求证：AF⊥平面BCDE．

Answer 1

分析 （1）要证明DC∥平面ABE，关键是要在平面ABE中找到可能与DC平行的直线，观察发现BE满足要求，根据已知证明BE∥DC，再根据线面平行的判定定理即可求解；
（2）要证明AF⊥平面BCDE，由我们要证明AF与平面BCDE中两条相交直线都垂直，由题意分析易证DC、BC均与AF垂直．

解答 证明：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC∥EB，又∵DC?平面ABE，EB?平面ABE，
∴DC∥平面ABE．
（2）DC⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，
∵BC∩DC=C，
∴AF⊥平面BCDE．

点评 本题考查直线和平面垂直、平行的判定，证明时，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．