Question

3．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a²=b（b+c）．那么A-2B=0．

Answer 1

分析 先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），进而推断出sin（A-B）=sinB．求得A-B=B，即可得出结论．

解答 解：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b（b+c）中，
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴$\frac{1}{2}$（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A-2B=0．
故答案为0．

点评 本题主要考查了正弦定理了的应用．研究三角形问题一般有两种思路．一是边化角，二是角化边．而正弦定理和余弦定理是完成这种转化的关键．