Question

8．已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx-2对?x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e时，证明不等式e^xlny＞e^ylnx．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出a的值，问题转化为b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出b的范围即可；
（3）问题转化为$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，构造函数h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
当a≤0时，ax-1＜0，从而f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当a＞0时，若$0＜x＜\frac{1}{a}$，则ax-1＜0，从而f'（x）＜0，
若$x＞\frac{1}{a}$，则ax-1＞0，从而f'（x）＞0，
函数在$（0，\frac{1}{a}）$单调递减，在$（\frac{1}{a}，+∞）$单调递增．             …（4分）
（2）根据（1）函数的极值点是$x=\frac{1}{a}$，若$\frac{1}{a}=1$，则a=1，
∴f（x）≥bx-2，即x-1-lnx≥bx-2，
∵x＞0，即b≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
得：x=e²是函数g（x）在（0，+∞）内的唯一极小值点，也是最小值点，
故g（x）_min=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（3）由e^xlny＞e^ylnx即$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
构造函数h（x）=$\frac{{e}^{x}}{lnx}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（lnx-1）}{{ln}^{2}x}$，x∈（e，+∞），h′（x）＞0，
即h（x）在（e，+∞）递增，
∵x＞y＞e，
∴$\frac{{e}^{x}}{lnx}$＞$\frac{{e}^{y}}{lny}$，
∴e^xlny＞e^ylnx．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．