Question

16．已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1）若f（x）在$x=\frac{4}{3}$处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，把x=$\frac{4}{3}$代入可得关于a的方程，解之可得a的值；（2）求f′（x），研究其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案．

解答 解：（1）由题意可得f′（x）=-3x²+2ax
由题意得f′（$\frac{4}{3}$）=0，解得a=2，经检验满足条件．      
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，则f′（x）=-3x²+4x，
令f′（x）=0，则x=0，或x=$\frac{4}{3}$（舍去），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∵关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴-4＜m≤-3．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，涉及根的存在性及个数的判断，属中档题．