Question

1．某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形（由地形限制边长不超过10m）的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为800m³．已知底面造价为160元/m²，侧面造价为100元/m²．
（I）将蓄水池总造价f（x）（单位：元）表示为底面边长x（单位：m）的函数；
（II）运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （I）设蓄水池高为h，则$h=\frac{800}{x^2}$，利用底面造价为160元/m²，侧面造价为100元/m²，即可将蓄水池总造价f（x）（单位：元）表示为底面边长x（单位：m）的函数；
（II）确定y=f（x）在x∈（0，10]上单调递减，即可求蓄水池总造价f（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设蓄水池高为h，则$h=\frac{800}{x^2}$，…（2分）
∴$f（x）=160{x^2}+100•4x•h=160{x^2}+100•4x•\frac{800}{x^2}$…（4分）
=$160（{x^2}+\frac{2000}{x}），（0＜x≤10）$…（6分）
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（0，10]，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=160[（{x_1}^2+\frac{2000}{x_1}）-（{x_2}^2+\frac{2000}{x_2}）]$
=$\frac{160（{x}_{1}-{x}_{2}）[{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-2000]}{{x}_{1}{x}_{2}}$…（8分）
∵0＜x₁＜x₂≤10，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂（x₁+x₂）＜2000，
∴y=f（x₁）-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂），∴y=f（x）在x∈（0，10]上单调递减…（10分）
故x=10当时，f_min（x）=f（10）=48000…（11分）
答：当底面边长为10m时，蓄水池最低造价为48000元…（12分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．