Question

13．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₂=3，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=3，S₅=25．
∴a₁+d=3，$5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}$d=25，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．