Question

10．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A，B两点，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （2，+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 要使$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，只需满足∠AEB为锐角，只需满足∠AEF＜45°，即|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：要使$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，只需满足∠AEB为锐角，只需满足∠AEF＜45°．
在△AEF中，$tan∠AEF=\frac{{|{AE}|}}{{|{EF}|}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}＜1$，即c²-ac-2a²＜0，两边同除以a²，e²-e-2＜0，
又e＞1，
所以离心率e的取值范围是（1，2）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．