Question

18．已知b＜a＜0，且a，b，2三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，一条光线从点（a，b）射出，经y轴反射与圆（x+4）²+（y-1）²=1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（　　）

• A． -$\frac{5}{3}$或-$\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{5}{4}$或-$\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由a，b＞0，可得a，-2，b成等比数列，即有ab=4；讨论a，b，-2成等差数列或b，a，-2成等差数列，运用中项的性质，解方程可得a，b，点（-1，-4）关于y轴的对称点为A′（1，-4），可设反射光线所在直线的方程，利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答 解：由b＜a＜0，且a，2，b成等比数列，
即有ab=4，①
若a，b，2成等差数列，可得
a+2=2b，②
由①②可得a=-4，b=-1，不符合题意．
若b，a，2成等差数列，可得
b+2=2a，③
由①③可得，b=-4，a=-1．
点（-1，-4）关于y轴的对称点为A′（1，-4），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+4=k（x-1），化为kx-y-k-4=0．
∵反射光线与圆（x+4）²+（y-1）²=1相切，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-4k-1-k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
化为24k²+50k+24=0，
∴k=$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$，
故选D．

点评 本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．