Question

设数列{a_n}为等比数列，且满足a₁+a₄=

9

16

，q=

1

2

（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知b_n=2n-5，记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得到a1[1+(

1

2

)3 ]=

9

16

，由此能求出a1=

1

2

，从而能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=2n-5，a_n=（

1

2

）ⁿ，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，利用错位相减求和法有求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为等比数列，且满足a₁+a₄=

9

16

，q=

1

2

，
∴a1[1+(

1

2

)3 ]=

9

16

，解得a1=

1

2

，
∴a_n=（

1

2

）ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=2n-5，a_n=（

1

2

）ⁿ，T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴T_n=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

-3

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-5

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=-

3

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-5

2n+1

=-

3

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-5

2n+1

=-

1

2

-

1

2n-1

-

2n-5

2n+1

，
∴T_n=-1-

2n-1

2n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．