Question

已知点A为大小为60°的二面角α-l-β的棱上一点，长度为a的线段AB在平面α内，且与直线l成45°角，求线段AB与平面β所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：过B作BC⊥l，交l于C，在平面β内作CD⊥l，过点B作BD⊥CD，交CD于D，由已知条件推导出∠BAD是直线AB与平面β所成的角，由此能求出线段AB与平面β所成角的大小．

解答： 解：如图，过B作BC⊥l，交l于C，在平面β内作CD⊥l，
过点B作BD⊥CD，交CD于D，
∵BC⊥l，CD⊥l，∴∠BCD是二面角α-l-β的平面角，
∵点A为大小为60°的二面角α-l-β的棱上一点，
长度为a的线段AB在平面α内，且与直线l成45°角，
∴∠BCD=60°，∠BAC=45°，AC=BC=

2

2

a，
∵BC⊥AC，BC⊥AC，BC∩DC=C，∴AC⊥平面BCD，
∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD，
∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面β，
∴∠BAD是直线AB与平面β所成的角，
∵∠BCD=60°，AC=

2

2

a，∴BD=

6

4

a，
∴sin∠BAD=

BD

AB

=

6 4 a

a

=

6

4

，
∴∠BAD=arcsin

6

4

，
∴线段AB与平面β所成角的大小为arcsin

6

4

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．