Question

已知（

x

+

1

3x2

）ⁿ的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3，
（1）求n．
（2）求展开式中常数项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由题意知

C

4 n

：

C

2 n

=14：3，由此求得n的值．
（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

解答： 解：（1）由题意知

C

4 n

：

C

2 n

=14：3，即

n(n-1)(n-2)(n-3)

4!

=

n(n-1)

2

=

14

3

，
化简可得 n²-5n-50=0，解得n=-5（舍去），或n=10．
（2）设该展开式中第r+1项中不含x，则 T_r+1=

C

r 11

•3^-r•x

10-5r

2

，
依题意，有x

10-5r

2

=0，r=2．
所以，展开式中第三项为不含x的项，且T₃=

C

2 10

•3^-2=5．

点评：本题主要考查二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．