Question

将曲线C1：(x-4)2+y2=4所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的

1

2

得到曲线C₂，将曲线C₂向左（x轴负方向）平移4个单位，得到曲线C₃．
（Ⅰ）求曲线C₃的方程；
（Ⅱ）垂直于x轴的直线l与曲线C₃相交于C、D两点（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直线AC、BD相交于点P，求P点的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出C₂：（x-4）²+（2x）²=1，再由平移的计算能求出曲线C₃的方程．
（Ⅱ）若C、D重合，则P（-2，0）或P（2，0），若C、D不重合，设C（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则D（x₀，-y₀），由此能求出P点的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ） 将C1：(x-4)2+y2=1所有点的横坐标不变，
纵坐标变为原来的

1

2

得到的曲线方程为（x-4）²+（2x）²=1，
即C₂：（x-4）²+（2x）²=1，
再将C₂：（x-4）²+（2x）²=1向左平移4个单位得到的曲线方程为x²+（2x）²=4，
即曲线C₃的方程为

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）若C、D重合，则P（-2，0）或P（2，0），
若C、D不重合，设C（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），则D（x₀，-y₀），
∴直线AC的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，
直线BD的直线方程为y=-

y0

x0-2

(x-2)，
∴y2=-

y 2 0

(x0+2)(x0-2)

(x+2)(x-2)，
即y2=-

y 2 0

x 2 0 -4

(x2-4)．（1）
∵C、D点在C₃：

x2

4

+y2=1上，
∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，
∴-

y 2 0

x 2 0 -2

=

1

4

，（2）
把（2）代入（1）化简得  

x2

4

-y2=1．
综上所述，P点的轨迹方程为

x2

4

-y2=1．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要注意伸缩变换和平移变换的合理运用．