Question

已知在正项数列{a_n}中，S_n表示前n项和且2

Sn

=a_n+1，数列{b_n}满足b_n=

1

4Sn-1

为数列{b_n}}的前n项和，
（Ⅰ） 求a_n，S_n；
（Ⅱ）是否存在最大的整数t，使得对任意的正整数n均有Tn＞

t

36

总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，得S_n=（

an+1

2

）²，从而数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，由此能求出t=11符合题意．

解答： 解：（Ⅰ）由2

Sn

=a_n+1，
得S_n=（

an+1

2

）²，
当n=1时，a1=S1=(

a1+1

2

)2，
解得a₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

an+1

2

）²-（

an-1+1

2

）²，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}各项为正，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=

n(a1+an)

2

=

n[1+(2n-1)]

2

=n²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，
∴数列{T_n}是增数列，
∴T₁是递增数列，故T₁=

1

3

是最小值，
只需

1

3

＞

t

36

，即t＜12．
∴存在t=11符合题意．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．