Question

已知函数f（x）=x+alnx
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；
（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≥0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＜0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．

解答： 解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，
∴f′(x)=1+

1

x

(x＞0)，
∴f（1）=1，f'（1）=2，
所以切线方程为2x-y-1=0，
（II ）∵f′(x)=

x+a

x

(x＞0)，
当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；函数f（x）无极值；
当a＜0时，由f′（x）=0，解得x=-a．
又当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=-a处取得极小值，且极小值为f（-a）=-a+aln（-a），无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．