Question

如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t秒后与地面的距离为h米．以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．
①假设O₁O和O₁A的夹角为θ，求θ关于t的关系式；
②当t=4秒时，求扇形OO₁A的面积S OO1A；
③求函数h=f（t）的关系式．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型

专题：三角函数的求值

分析：①直接通过每12秒旋转一周，列出θ关于t的关系式．
②求出当t=4秒时，扇形的圆心角，然后求解扇形面积．
③在已知坐标系中，根据大风车的半径为2m，圆上最低点与地面距离为0.5m，12s秒转动一圈，易得到到h=f（t）的函数关系式；

解答： 解：①设∠OO₁A=θ，又T=12，∴θ=

π

6

t
②当t=4秒时，θ=

π

6

×4=

2π

3

．扇形OO₁A的面积S OO1A=

1

2

×2×

2π

3

=

2π

3

．
③设∠OO₁A=θ，又T=12，
∴θ=

π

6

t，
∴f（t）=2.5-2cos

π

6

t，t≥0；

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，将现实问题转化为数学问题，是解答的关键．