Question

设函数f（x）=|2x-4|+1，若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：根据绝对值的意义化简，可得当x≤2时f（x）≤ax转化为（a+2）x≥5；当x＞2时f（x）≤ax转化为（a-2）x≥-3．分别在这两种情况下根据a的取值解关于x的不等式，讨论不等式的解集是否为空集，从而得到实数a的取值范围．最后取这两种情况下a的取值范围的并集，可得满足条件的a的取值范围．

解答： 解：：①当x≤2时，f（x）=|2x-4|+1=5-2x，
∴不等式f（x）≤ax，即5-2x≤ax，即（a+2）x≥5．
（i）当a=-2时，不等式变为0≥5，解集为空集，不符合题意；
（ii）当a＜-2时，不等式变为x≤

5

a+2

，不等式的解集一定非空，符合题意；
（iii）当a＞-2时，不等式变为x≥

5

a+2

，可得当

5

a+2

≤2时不等式的解集非空．
解不等式

5

a+2

≤2得a≥

1

2

．此时a∈（-∞，-2]∪[

1

2

，+∞）．
②当x＞2时，f（x）=|2x-4|+1=2x-3，∴不等式f（x）≤ax，即2x-3≤ax，即（a-2）x≥-3，
（i）当a=2时，不等式变为0≥-3，解集非空，符合题意．
（ii）当a＜2时，不等式变为x≤

3

2-a

，可得当

3

2-a

＞2时不等式的解集非空，
解不等式

3

2-a

＞2，得

1

2

＜a＜2．
（iii）当a＞2时，不等式变为x≥

3

2-a

，不等式的解集一定非空，符合题意，此时a∈（

1

2

，+∞）．
综上所述，可得满足不等式f（x）≤ax的解集非空的a的取值范围为（-∞，-2）∪[

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查含有绝对值的函数f（x），着重考查了绝对值的意义、不等式的解法等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．