Question

20．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overline{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为$\frac{3}{4}$π．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$与$|\overrightarrow{b}|$的关系，然后代入数量积公式求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overline{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=3|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}{|}^{2}=3|\overrightarrow{b}{|}^{2}-4|\overrightarrow{b}{|}^{2}=-|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{\sqrt{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查数量积求向量的夹角，向量垂直与数量积间的关系，是基础题．