Question

10．记所有非零向量构成的集合为V，对于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$∈V，$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{b}$，定义V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=|x∈V|x•$\overrightarrow{a}$=x•$\overrightarrow{b}$|
（1）请你任意写出两个平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，并写出集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）中的三个元素；
（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）中元素的关系，并试着给出证明；
（3）若V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$），其中$\overrightarrow{b}$≠$\overrightarrow{c}$，求证：一定存在实数λ₁，λ₂，且λ₁+λ₂=1，使得$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow{b}$+λ₂$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）比如$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（3，4），设$\overrightarrow{x}$=（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；
（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow{b}$=（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；
（3）设$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow{b}$=（c，d），$\overrightarrow{y}$=（u，v），$\overrightarrow{c}$=（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证．

解答 解：（1）比如$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（3，4），设$\overrightarrow{x}$=（x，y），
由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{b}$，可得x+2y=3x+4y，
即为x+y=0，
则集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）中的三个元素为（1，-1），（2，-2），（3，-3）；
（2）由（1）可得这些向量共线．
理由：设$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow{b}$=（c，d），
由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{b}$，可得as+bt=cs+dt，
即有s=$\frac{d-b}{a-c}$t，
即$\overrightarrow{x}$=（$\frac{d-b}{a-c}$t，t），
故集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）中元素的关系为共线；
（3）证明：设$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow{b}$=（c，d），
$\overrightarrow{y}$=（u，v），$\overrightarrow{c}$=（e，f），
若V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$），
即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，
解得a=$\frac{sv}{sv-ut}$•c+$\frac{-ut}{sv-ut}$•e+$\frac{（d-f）vt}{sv-ut}$，
可令d=f，可得λ₁=$\frac{sv}{sv-ut}$，
λ₂=$\frac{-ut}{sv-ut}$，
则一定存在实数λ₁，λ₂，且λ₁+λ₂=1，使得$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow{b}$+λ₂$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查新定义的理解和运用，以及平面向量的数量积的坐标表示，考查化简整理运算和推理能力，属于中档题．