Question

12．已知函数f（x）=mlnx+8x-x²在[1，+∞）上单调递减，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-8]
• B． （-∞，-8）
• C． （-∞，-6]
• D． （-∞，-6）

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到m≤2x²-8x在[1，+∞），令h（x）=2x²-8x，x∈[1，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+8-2x=$\frac{-{2x}^{2}+8x+m}{x}$，
令g（x）=-2x²+8x+m，
若函数f（x）=mlnx+8x-x²在[1，+∞）上单调递减，
则-2x²+8x+m≤0在[1，+∞）成立，
则m≤2x²-8x在[1，+∞），
令h（x）=2x²-8x，x∈[1，+∞），
h′（x）=4x-8，令h′（x）＞0，解得：x＞2，
令h′（x）＜0，解得：1≤x＜2，
故h（x）在[1，2）递减，在（2，+∞）递增，
故h（x）_min=h（2）=-8，
故m≤-8，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．