Question

1．某单位为丰富职工业余生活，举办知识有奖竞答活动，活动共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为100元，300元，500元的奖品（可重复得奖），职工甲对三关中每个问题回答正确的概率依次为$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，且每个问题回答正确与否相互独立．
（1）求甲过第一关但未过第二关的概率；
（2）求甲所获奖品的价值不高于500元的概率．

Answer 1

分析 （1）甲对三关中每个问题回答正确的概率依次为$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$，且每个问题回答正确与否相互独立，甲过第一关但未过第二关的概率．
（2）甲所获奖品的价值ξ的可能取值为0，100，400，900，由此能求出甲所获奖品的价值不高于500元的概率．

解答 解：（1）∵甲对三关中每个问题回答正确的概率依次为$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$，
且每个问题回答正确与否相互独立．
甲过第一关但未过第二关的概率：
P=（$\frac{4}{5}$）²[1-（$\frac{3}{4}$）²]=$\frac{16}{25}×\frac{7}{16}$=$\frac{7}{25}$．
（2）甲所获奖品的价值ξ的可能取值为0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{9}{25}$，
P（ξ=100）=$\frac{7}{25}$，
P（ξ=400）=（$\frac{4}{5}$）²（$\frac{3}{4}$）³[（$\frac{1}{3}$）³+${C}_{3}^{1}•\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{7}{75}$，
∴甲所获奖品的价值不高于500元的概率：
p=P（ξ=0）+P（ξ=100）+P（ξ=400）=$\frac{9}{25}+\frac{7}{25}+\frac{7}{75}$=$\frac{11}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．