Question

12．已知直线2x-y-2=0与x、y轴分别交A、B两点，点P在抛物线y=4x²上，试求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 通过三角形的面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时面积最小，求出与直线2x-y-2=0平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论．

解答 解：依题意，A（1，0），B（0，-2），
设与直线2x-y-2=0平行且与抛物线相切的直线l方程为：2x-y-t=0，
联立直线l与抛物线方程，消去y得：4x²-2x+t=0，
则△=4-16t=0，即t=$\frac{1}{4}$，
∵直线2x-y-2=0与直线l之间的距离d=$\frac{2-\frac{1}{4}}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{20}$，
∴S_min=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{1+4}$•$\frac{7\sqrt{5}}{20}$=$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．