Question

10．已知f（x）=2|x+1|-2，当f（f（x））=mx有四个解时，实数m的取值范围是（0，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 求出f（f（x））的解析式，作出y=f（f（x））与y=mx的函数图象，根据函数图象的交点个数判断m的范围．

解答 解：令f（x）≤-1，即2|x+1|-2≤-1，解得-$\frac{3}{2}$≤x≤-$\frac{1}{2}$，
∴f（f（x））=2|f（x）+1|-2=-2f（x）-2-2=-2f（x）-4=-2[2|x+1|-2]-4=-4|x+1|，
令f（x）＞-1，即2|x+1|-2＞-1，解得x＜-$\frac{3}{2}$或x＞$-\frac{1}{2}$．
∴f（f（x））=2|f（x）+1|-2=2f（x）=4|x+1|-4，
作出y=f（f（x））和y=mx的函数图象如图所示：

∵f（f（x））=mx有四个解，
∴0＜m＜$\frac{4}{3}$，
故答案为：（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了函数解析式的求解，方程根与函数图象的关系，属于中档题．