Question

19．已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性（直接写出结论不用证明 ）
（3）若对任意的t∈[0，1]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质建立方程关系即可求a，b的值；
（2）函数f（x）是R是上的单调递减函数．
（3）根据函数解析式求出函数的单调性，利用参数分离法进行求解即可

解答 解：（1）设g（x）=m^x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m²=4，∴m=2，∴g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{2•{2}^{x}+b}$，
∵定义域为R的函数f（x）=$\frac{-g（x）+a}{2g（x）+b}$是奇函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
（2）函数f（x）是R上的单调递减函数．
（3）∵f（2t²-2t）+f（2t²-k）＞0对于任意的t∈[0，1]恒成立，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）．
∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＞f（k-2t²）．
∵函数f（x）是R上的减函数，∴t²-2t＜k-2t²，
∴k＞3t²-2t=2（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$对于任意的t∈[0，1]恒成立，
令H（x）=3t²-2t  t∈[0，1]，
只需k＞H（x）的最大值即可，
H（x）的最大值为H（1）=1，
∴k＞1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．