Question

9．已知在各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₆-3×2¹⁰⁰⁸=-3．

Answer 1

分析 根据对数的运算性质，结合题意算出a_n+1a_n=2ⁿ，从而证出{a_n}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，由此结合等比数列的求和公式即可算出所求式子的值．

解答 解：∵log₂a_n+1+log₂a_n=n
∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ
由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2
∴a₁、a₃、…a₂₀₁₅和a₂、a₄、…、a₂₀₁₆分别构成以2为公比的等比数列
则a₁+a₃+…+a₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$=2¹⁰⁰⁸-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₆=$\frac{2（1-{2}^{1008}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-2
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₆-3×2¹⁰⁰⁸
=（2¹⁰⁰⁸-1）+（2¹⁰⁰⁹-2）-3×2¹⁰⁰⁸=3•2¹⁰⁰⁸-3-3×2¹⁰⁰⁸=-3
故答案为：-3

点评 本题给出各项为正的数列{a_n}满足的等式，求它的前2016项之和．着重考查了等比数列的通项与求和公式、对数的运算性质和数列递推式的理解等知识，属于中档题．