Question

对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假：
命题甲：在区间上是增函数；
命题乙：在区间上恰有两个零点，且.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是

A．①

B．②

C．①③

D．①②

Answer 1

D

分析：①函数可用导数求出在（1，2）上是增函数，②函数是|log2^x|与-()^x的和函数，且两者在区间（1，2）上均是增函数，知f(x)=|log₂x|-( )^x是增函数．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上无数个零点．
解答：解：①f’（x）=4-，在区间（1，2）f’（x）＞0，f（x）在区间（1，2）上是增函数．使甲为真．f（x）的最小值是-1＜0当x=时取得．又f（1）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁＜；x₂=1．   x₁x₂=x₁＜1，使乙为真．
②在区间（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函数．-()^x也是增函数，两者的和函数也是增函数．使甲为真．利用信息技术f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂；0＜x₁＜
1＜x₂＜2．使乙为真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在区间（0，+∞）上有无数个零点．使乙为假．
故选D．
点评：要掌握好基本初等函数的单调性，以及函数零点个数的判定，用二分法求零点的近似值．