Question

已知双曲线

x2

an

-

y2

an-1

=1的一个焦点为(

cn

，0)，一条渐近线方程为y=

2

2

x，其中{a_n}是以4为首项的正数数列．
（Ⅰ）求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅱ）若不等式

1

c1

+

2

c2

+L+

n

cn

+

n

3•2n

＜

2

3

+logax(a＞1)对一切正常整数n恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由于双曲线方程为

x2

an

-

y2

an-1

=1的一个焦点为（

cn

，0），可得c_n=a_n+a_n-1．由于一条渐近线方程为y=

2

2

x，可得

an

an-1

=

2

，即

an

an-1

=2，利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）设T_n=

1

3

[

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

]，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T_n=

2

3

-

1

3×2n+1

-

n

3•2n

，故原不等式等价于

2

3

-

1

3×2n+1

＜

2

3

+log_ax恒成立，化为log_ax≥0．由于a＞1，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线方程为

x2

an

-

y2

an-1

=1的一个焦点为（

cn

，0），
∴c_n=a_n+a_n-1．
又∵一条渐近线方程为y=

2

2

x，
∴

an

an-1

=

2

，即

an

an-1

=2，
∴an=4×2n-1=2ⁿ⁺¹．
∴cn=2n+1+2n=3×2ⁿ．

（II）设T_n=

1

3

[

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

]①，

1

2

Tn=

1

3

(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)②，
①-②得，

1

2

Tn=

1

3

•(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)=

1

3

×(

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

)=

1

3

(1-

2+n

2n+1

)，
∴T_n=

2

3

-

1

3×2n+1

-

n

3•2n

，
故原不等式等价于

2

3

-

1

3×2n+1

＜

2

3

+log_ax恒成立，
∴log_ax≥0．
∵a＞1，
∴x≥1，
∴实数x的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”，考查了不等式恒成立的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．