Question

某商场为经营一批每件进价是10元的小商品，对该商品进行为期5天的市场试销．下表是市场试销中获得的数据．

销售单价/元	65	50	45	35	15
日销售量/件	15	60	75	105	165

根据表中的数据回答下列问题：
（1）试销期间，这个商场试销该商品的平均日销售利润是多少？
（2）试建立一个恰当的函数模型，使它能较好地反映日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系，并写出这个函数模型的解析式；
（3）如果在今后的销售中，该商品的日销售量与销售单价仍然满足（2）中的函数关系，试确定该商品的销售单价，使得商场销售该商品能获得最大日销售利润，并求出这个最大的日销售利润．
（提示：必要时可利用右边给出的坐标纸进行数据分析）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）商场试销该商品的平均日销售利润是1860．
（2）函数模型为y=-3x+210（10≤x≤70）．
（3）当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．

解答： 解：（1）设平均日销售利润为M，则M=

(15-10)×165+(35-10)×105+(45-10)×75+(50-10)×60+(65-10)×15

5

=165+5×105+7×75+8×60+11×15=1860．
（2）依题意，根据点的分布特征，可考虑以y=kx+b作为刻画日销售量与销售单价之间关系的函数模型，取其中的两组数据（45，75），（65，15）代入y=kx+b得：

75=45k+b 15=65k+b

，
解得，k=-3，b=210
这样，得到一个函数模型为y=-3x+210（10≤x≤70）．
将其他已知数据代入上述解析式知，它们也满足这个解析式，即这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求的函数解析式能较好地反映销售量与销售单价之间的关系．
（3）设经营此商品的日销售利润为P元，由（2）知
P=xy-10y=x（-3x+210）-10（-3x+210）=-3（x-40）²+2700（10≤x≤70）
∴x=40时，P有最大值为2700．
即当该商品的单价为每件40元时，商场销售该商品的日销售利润最大，为2700元．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查利用数学知识解决实际问题，确定函数解析式是关键．