Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，

π

2

]，求g（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，化简函数解析式，然后，结合正弦函数的单调性求解；
（2）化简函数g（x）=f（x）cosx=

3

sinxcosx+cos²x=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，然后，根据x∈[0，

π

2

]，求解其值域．

解答： 解：（1）f（x）=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)=2sin（x+

π

6

），
则函数f（x）的单调增区间满足：
-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调增区间[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，（k∈Z）．
（2）g（x）=f（x）cosx=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴0≤sin（2x+

π

6

）+

1

2

≤

3

2

，
∴g（x）的值域为[0，

3

2

]．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式、辅助角公式等知识，属于中档题．