Question

证明抛物线没有渐近线．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：证明题,反证法

分析：设抛物线有渐近线，渐近线的方程是y=ax+b，易知a、b都不为0．因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

y2=2px，① y=ax+b，②

?的两组解的倒数都是0．从而可得p=0，即可证明结论．

解答： 证明：设抛物线的方程是y²=2px（p≠0）．?
假设抛物线有渐近线，渐近线的方程是y=ax+b，易知a、b都不为0．
因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

y2=2px，① y=ax+b，②

?的两组解的倒数都是0．?
将②代入①，得?a²x²+2（ab-p）x+b²=0．③?
设x₁、x₂是③的两个根，由韦达定理，可知?
x₁+x₂=-

2(ab-p)

a2

，x₁•x₂=

b2

a2

，?
则

1

x1

+

1

x2

=

-2(ab-p)

b2

，④

1

x1

•

1

x2

=

a2

b2

=0．⑤?
由④⑤，可推得p=0，?
这与假设p≠0矛盾．?
所以，抛物线没有渐近线．?

点评：关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型．由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明．