Question

已知函数f（x）=x-

1

x+1

，g（x）=x²-2ax+4若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求实数a的取值范围？

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求出f（x）_min=f（0）=-1，根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x²-2ax+4≤-1，分离参数，要使a≥

x

2

+

5

2x

），在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）_min，即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=x-

1

x+1

，x∈[0，1]，
∴f′（x）=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[0，1]上单调递增
∴f（x）_min=f（0）=-1
根据题意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x²-2ax+4≤-1．
即a≥

x

2

+

5

2x

能成立，
令h(x)=

x

2

+

5

2x

，则要使a≥h（x），在x∈[1，2]能成立，
只需使a≥h（x）_min，
又函数h(x)=

x

2

+

5

2x

在x∈[1，2]上单调递减，
∴h(x)min=h(2)=

9

4

，
故只需a≥

9

4

．

点评：本题考查的知识点函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，分离参数求最值是关键．