Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点（-

1

2

，-

3

），离心率为

3

2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（0，t）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点，把△AOB（O为坐标原点）的面积表示为t的函数f（t），并求函数f（t）的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设椭圆C的方程为：

y2

4b2

+

x2

b2

=1，再由椭圆C过点（-

1

2

，-

3

），能求出椭圆C的标准方程．
（2）由题意知|m|≥1．设切线l的方程为y=kx+m，由由

y=kx+t y2 4 + x2 2 =1

，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，得，利用韦达定理结合题设条件能求出S_△AOB．

解答： 解：（1）∵椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）过点（-

1

2

，-

3

），离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，∴a=2b，
设椭圆C的方程为：

y2

4b2

+

x2

b2

=1，
∵椭圆C过点（-

1

2

，-

3

），
∴

3

4b2

+

1

4b2

=1，∴b=1，a=2，
∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+x2=1．…（4分）
（2）由题意知，|t|≥1．
由题设知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+t，
由

y=kx+t y2 4 + x2 2 =1

，得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
则x1+x2=-

2kt

k2+4

，x1x2=

t2-4

k2+4

，…（6分）
又∵l与圆x²+y²=1相切，
∴

|t|

k2+1

=1，k²=t²-1，
∴|AB|=

(1+k2)[(- 2kt k2+4 )2-4• t2-4 k2+4 )]

=

4 3 |t|

t2+3

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|=

2 3 |t|

t2+3

，t∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
∴S_△AOB=

2 3

|t|+ 3 |t|

≤

2 3

2 |m|• 3 |m|

=1（当且仅当t=±

3

时取等号）
∴当t=±

3

时，S_△AOB的最大值为1．…（13分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、均值不等式的合理运用．