Question

已知点O（0，0），A（2，3），B（5，4），C（7，10），若

AP

=

AB

+λ

AC

（λ∈R）
（1）是否存在λ，使得点P在第一、三象限的角平分线上？
（2）是否存在λ，使得四边形OBPA为平行四边形？（若存在，则求出λ的值，若不存在，请说明理由．）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的坐标运算和数乘运算、向量相等即可得出；
（2）利用“反证法”，再利用向量的平行四边形法则得出矛盾即可．

解答： 解：（1）存在．
设P（x，y），则

AP

=(x-2，y-3)，
∵

AB

=(3，1)，

AC

=(5，7)，
由

AP

=

AB

+λ

AC

可得

x-2=3+5λ y-3=1+7λ

，⇒

x=5+5λ y=4+7λ

若点P在第一、三象限的角平分线上，
则x=y，即5+5λ=4+7λ，解得λ=

1

2

．
∴存在λ=

1

2

，使得点P在第一、三象限的角平分线上．
（2）不存在．
若四边形OBPA为平行四边形，则

OP

=

OA

+

OB

，
∵

OA

+

OB

=(7，7)，
∴

x=5+5λ=7 y=4+7λ=7

，无解．
因此不存在λ，使得四边形OBPA为平行四边形．

点评：本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、向量相等、“反证法”、向量的平行四边形法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．