Question

平面向量

a

，

b

，

e

满足

e

=（1，0），

a

=（1，m），

b

=（2，n），|

a

-

b

|=2，则

a

•

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：由于|

a

-

b

|=2，可得（m-n）²=3．只考虑mn＜0．不妨取n＞0，m＜0．利用向量的数量积运算、基本不等式可得

a

•

b

=2+mn=2-（-m）n≥2-（

-m+n

2

）²即可得出．

解答： 解：由

a

=（1，m），

b

=（2，n），|

a

-

b

|=2，
则

(1-2)2+(m-n)2

=2，
即有（m-n）²=3，
只考虑mn＜0．不妨取n＞0，m＜0．
则

a

•

b

=2+mn=2-（-m）n≥2-（

-m+n

2

）²
=2-

3

4

=

5

4

．
当且仅当-m=n=

3

2

时，取得最小值

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：本题考查了向量的数量积运算、基本不等式的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力．