Question

20．已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）若圆C的半径为$\sqrt{3}$，求实数a的值；
（2）若弦AB的长为4，求实数a的值；
（3）求直线l的方程及实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆C的半径为$\sqrt{3}$，求实数a的值；
（2）求出直线l的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦AB的长为4，求实数a的值；
（3）点与圆的位置关系即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）圆的标准方程为（x+1）²+（y-2）²=5-a，
则圆心C（-1，2），半径r=$\sqrt{5-a}$，
∵圆C的半径为$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{5-a}$=$\sqrt{3}$，
∴a=2；
（2）∵弦的中点为M（0，1）．
∴直线CM的斜率k=-1，
则直线l的斜率k=1，
则直线l的方程为y-1=x，即x-y+1=0．
圆心C到直线x-y+1=0的距离d=$\frac{|-1-2+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
若弦AB的长为4，则2+4=5-a=6，
解得a=-1；
（3）由（2）可得直线l的方程为x-y+1=0．
∵弦AB的中点为M（0，1）．
∴点M在圆内部，即$\sqrt{{1}^{2}+（1-2）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$，
∴5-a＞2，即a＜3．

点评 本题主要考查直线和圆的方程的应用，利用配方法将圆配成标准方程是解决本题的关键．