Question

11．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}\right.$，当x∈[-2，2]时不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，则实数a的最小值是4．

Answer 1

分析 分析分段函数的单调性，得知函数单调递减，不等式可整理为2x≤a，只需求出左式的最大值即可．

解答 解：当x≤0时，f（x）=x²-4x+3，
对称轴为x=2，故在区间内递减，f（x）≥f（0）=3；
当x＞0时，f（x）=-x²-2x+3，
对称轴为x=-2，故在区间内递减且f（x）＜f（0）=3；
可知函数f（x）在整个区间内递减，
∴x∈[-2，2]时不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，
∴x+a≤2a-x，
∴2x≤a，
∴a≥4，
故答案为4．

点评 考查了分段函数的单调性和单调性的利用．