Question

10．已知f（x）=$\frac{a•2^x+a-2}{2^x+1}$是定义在[-2，2]上的奇函数．
（1）求实数a的值，并求f（1）的值；
（2）证明：f（x）在定义域上为增函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系即可得到结论．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（3）利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解．

解答 解：（1）方法一：∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
又f（x）=$\frac{a•（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴a-$\frac{2}{{2}^{-x}+′1}$=-a+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2a=$\frac{2}{\frac{1}{{2}^{x}}+1}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{2•{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2，∴a=1．
方法二：∵f（x）是[-2，2]上的奇函数，∴f（0）=a-1=0，∴a=1．
即f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，∴f（1）=$\frac{1}{3}$．
（2）证明如下：由（1）知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$（ x∈[-2，2]）．任取-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵-2≤x₁＜x₂≤2，∴2^x₁＜2^x₂．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在定义域上为增函数．
（3）∵f（1）=$\frac{1}{3}$．
∴不等式f（2x-1）＜$\frac{1}{3}$．等价为f（2x-1）＜f（1），
∵f（x）定义在[-2，2]上的奇函数且单调递增．
∴-2≤2x-1＜1，
即$-\frac{1}{2}$≤x＜1，
即不等式的解集为[$-\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．