题目内容
首届重庆三峡银行•长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛张超获胜的概率为
，夏易正获胜的概率为
，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：
（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；
（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；
（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,二项分布与n次独立重复试验的模型
专题：概率与统计
分析：（1）以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败．由此能求出比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率．
（2）ξ的所有取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）ξ的所有取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：
解：（1）以张超3胜1负而结束比赛，则张超第4局必胜而前3局必有1局败．
∴所求概率为P=
(1-
)×(
)3=
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
(
)3(
)0+
(
)0(
)3=
，
P（ξ=4）=
(
)2(
)1(
)+
(
)1(
)2(
)=
，
P（ξ=5）=
(
)2(
)2=
，
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=3×
+4×
+5×
=
．
∴所求概率为P=
| C | 1 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=
| C | 3 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| C | 0 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
P（ξ=4）=
| C | 2 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| C | 1 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
P（ξ=5）=
| C | 2 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 27 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 3 | 4 | 5 | ||||||
| P |
|
|
|
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 27 |
| 8 |
| 27 |
| 107 |
| 27 |
点评：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．
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