Question

已知双曲线左右焦点分别为F₁，F₂，在双曲线C上存在点P，满足△PF₁F₂的周长等于双曲线C实轴的3倍，则双曲线C的离心率取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），P为右支上一点，且PF₂=t，则由双曲线的定义可得，PF₁，由题意可得2a+2c+2t=6a，由t的范围和离心率公式计算即可得到所求范围．

解答： 解：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），P为右支上一点，
且PF₂=t，则由双曲线的定义可得，PF₁=2a+t，
由题意可得，PF₁+PF₂+F₁F₂=3×2a，
即为2a+2c+2t=6a，
由于t＞c-a，
则有2a-c＞c-a，
即2c＜3a，
由于e=

c

a

，e＞1，
则1＜e＜

3

2

．
故答案为：（1，

3

2

）．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．