Question

4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=-8．

Answer 1

分析 由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
∴f（x）的图象关于直线x=-2对称，
又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4），
∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，
作出f（x）的大致函数图象如图：

由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=-6对称，两个关于直线x=2对称，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-6×2+2×2=-8．
故答案为：-8．

点评 本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．