Question

16．设直线3x+4y-5=0与圆C₁：x²+y²=9交于A，B两点，若圆C₂的圆心在线段AB上，且圆C₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，则圆C₂半径的最大值是2；此时C₂C₁所在的直线方程为4x-3y=0．

Answer 1

分析 先根据圆C₁的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C₂的半径的最大时的情况：当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C₂的半径最大值．

解答 解：由圆C₁：x²+y²=9，可得圆心O（0，0），半径R=3，
如图，当圆c₂的圆心Q为线段AB的中点时，圆c₂与圆C₁相切，切点在圆C₁的劣弧$\widehat{AB}$上，设切点为P，此时圆C₂的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，
消去y得到25x²-30x-119=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{6}{5}$，
∴线段AB的中点Q的横坐标为$\frac{3}{5}$，把x=$\frac{3}{5}$代入直线方程中解得y=$\frac{4}{5}$，
∴Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴两圆心之间的距离OQ=d=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{2}}$=1，
∵两圆内切，所以圆c₂的最大半径r=R-d=3-1=2．
此时C₂C₁所在的直线方程为：$\frac{y}{x}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4}{3}$，即4x-3y=0．
故答案为：2，4x-3y=0．

点评 此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．