Question

12．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{BC}$²=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{AC}$²，则点O在（　　）

• A． AB边中线所在的直线上
• B． ∠C平分线所在的直线上
• C． 与AB垂直的直线上
• D． 三角形ABC的外心

Answer 1

分析 取AB的中点D，利用$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，化简可得$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OC}=0$，从而可得点O在AB边的高所在的直线上．

解答 解：取AB的中点D，则∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
∴$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=-|\overrightarrow{BC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$
∴$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}•（-2\overrightarrow{CD}）$
∴$\overrightarrow{BA}•2\overrightarrow{OC}=0$
∴$\overrightarrow{BA}⊥\overrightarrow{OC}$
∴点O在AB边的高所在的直线上
故选C．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量的基本运算结合向量数量积的公式是解决本题的关键．