Question

16．已知公差不为0的等差数列{a_n}的前4项的和为20，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=n•2^a_n，求数列{b_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的前n项和公式求得2a₁+3d=10，由等比数列的性质，即可求得a₁=d，联立即可求得d=2，a₁=2，利用等差数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=n•${2}^{{a}_{n}}$=n•4ⁿ，利用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项的和S_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由${S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=20$，即2a₁+3d=10，①
由a₁，a₂，a₄成等比数列，则a₂²=a₁•a₄，
则（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），整理得：a₁=d，②
由①②解得d=2，a₁=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n；…（6分）
（2）由（1）可知：b_n=n•${2}^{{a}_{n}}$=n•4ⁿ，
${S_n}=1×4+2×{4^2}+3×{4^3}+…+n×{4^n}$，
$4{S_n}=1×{4^2}+2×{4^3}+…+（n-1）×{4^n}+n×{4^{n+1}}$…（10分）
所以-3S_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n×4ⁿ⁺¹，
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n×4ⁿ⁺¹，
从而${S_n}=\frac{{（3n-1）×{4^{n+1}}+4}}{9}$，
∴数列{b_n}的前n项的和S_n，${S_n}=\frac{{（3n-1）×{4^{n+1}}+4}}{9}$．…（14分）

点评 本题考查等比数列性质，等差数列通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．