Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²-bx（b为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切点，斜率，求出切线方程；
（Ⅱ）写出h（x）的表达式，并求出导数h′（x），由条件知h′（x）＜0在x＞0上有解，运用基本不等式求出

1

x

+x的最小值，令b大于最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
即函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为1，
且f（1）=ln1=0，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1；
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+

1

2

x²-bx（b为常数），
∴h′（x）=

1

x

+x-b，
 由题意知h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设m（x）=h′（x）=

1

x

+x-b，
∵

1

x

+x≥2，当且仅当x=1取最小值2，
∴b＞2，即b的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题主要考查导数的综合运用：求切线方程、求单调性，同时考查不等式有解的条件a＞f（x）有解，只要求f（x）的最小值，即a大于最小值．