Question

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为
x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；   
（2）求矩形ABCD外接圆的方程；
（3）过点N（-2，0）的直线l与矩形ABCD的外接圆相交于P，Q两点，求
|

NP

|•|

NQ

|．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：（ I）由AD与AB垂直，求出直线AD的斜率，由此能求出AD边所在直线的方程．
（ II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得点A（0，-2），因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．由此能求出矩形ABCD外接圆的方程．
（ III）过点N作圆的切线，切点为S，由此利用切割线定理能求出结果．

解答： 解：（ I）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为-3．
又因为点T（-1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y-1=-3（x+1），
即3x+y+2=0．
（ II）由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得点A的坐标为（0，-2），
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．
（ III）过点N作圆的切线，切点为S，
则|

NP

|•|

NQ

|=|

NS

|2=|

NM

|2-|

MS

|2=8．

点评：本题考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量数量积的求法，解题时要认真审题，注意直线性质的灵活运用．