Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，PB=4

2

（Ⅰ）求证：平面APD⊥平面APB
（Ⅱ）求三棱锥D-AEC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面垂直得PA⊥BA，由正方形性质得DA⊥BA，由此能证明平面PAD⊥平面PAB．
（Ⅱ）由勾股定理求出PA=4，取AB中点F，得EF⊥平面ABCD，且EF=2，由此能求出三棱锥D-AEC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：AP⊥平面ABCD，
且AB?平面ABCD，∴PA⊥BA，
又∵底面ABCD为正方形，∴DA⊥BA，
又PA∩DA=A，PA，DA?平面PAD，
∴BA⊥平面PAD，又∵AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PB²=PA²+AB²，
∵AB=4，PB=4

2

，∴PA=4，
取AB中点F，则EF∥PA，
∴EF⊥平面ABCD，且EF=2
∴VD-AEC=VE-ADC=

1

3

S△ADC•EF=

1

3

×

1

2

×4×4×2=

16

3

．…（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．