Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[-

π

4

，

π

4

]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，易得周期，解2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

]可得sin（2x+

π

6

）的范围，进而可定的f（x）的值域，即m+2的范围，可得答案．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cos²x+

3

sin 2x
=1+cos2 x+

3

sin 2x=1+2（

1

2

cos 2x+

3

sin 2x）
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

，（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）的值域为[1-

3

，3]
∵f（x）=m+2，∴m+2∈[1-

3

，3]，
即m∈[-1-

3

，1]．

点评：本题考查三角函数的性质，涉及和差角公式和三角函数的值域，属中档题．